第21章　重积分

1．（1）进行适当的变量替换，化下列积分为定积分其中D由曲线xy＝1，xy＝2，y＝x，y＝4x（x>0，y>0）所围成的区域；

（2）化累次积分为定积分．[天津大学研]

解：（1）令

（2）

2．证明：

其中[东北师范大学研]

证明：作正交变换

则因此变成，且

所以　

而

所以

3．计算积分，其中D是由x＝0，y＝0，x＋y＝1所围成．[浙江大学研]

图21-1

解：令

即则

D变成

4．设D＝[0，1]×[0，1]，f（x，y）是定义在D上的二元函数，f（0，0）＝0，且f（x，y）在点（0，0）处可微，求[中国科学院2007研]

解：根据等价无穷小量和L’Hospital法则可得

5．将三重积分

化为先对x，后对y，最后对z的新的累次积分。[南京师范大学研]

解：因为原积分区域为，可以化为新的积分次序

6．计算三重积分，其中区域Ω由曲面和平面z＝2所围成。[北京师范大学研]

解：做柱坐标变换区域Ω变为Ω＇为

故

7．计算，其中Ω为以0（0，0，0）、A（R，0，0）为球心，以R为半径的两个球体的公共部分。[北京师范大学研]

解：两个球体的方程分别为

用球坐标

计算积分，曲面在球坐标下的方程为

积分区域　 ，

其中

于是

8．设是实正定矩阵，Ω是椭球体，求Ω的体积。[大连理工大学研]

解：因为是实正定矩阵，所以存在实正定矩阵B使得．令

　 ，

则

由于，所以

9．求，其中且所成的空心立体．[南京大学研]

图21-2

解：令

所以

令则变为

同理，令

则

令则