第20章　偏导数的应用

1．令，υ是(x,y)平面上的任一单位向量．求

（1）f（x，y）在（0，0）沿υ的方向导数；

（2）讨论f（x，y）在（0，0）处的连续性、可微性．[华南理工大学研]

解：（1）令υ＝（coscα，cosβ），α、β表示与x轴、y轴正向的夹角，根据偏导数的定义可得

所以根据方向导数的公式可得

（2）令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，则

所以f（x，y）在（0，0）处连续．因为，而

不惟一，故不可微．

2．设φ（x，y，z）对所有变量有连续导数，证明其梯度方向是该函数增长最快的方向．[北京交通大学研]

证明：对任一单位向量，在（x，y，z）处的方向导数为

其中的夹角的余弦．若，则函数在任意方向的增长速度都一样．若，则由上面的表达式可知当时，最大，且，即梯度方向是该函数增长最快的方向．

3．设，，证明：

（1）f（x，y）在D内有界，并求上确界；

（2）讨论f（x，y）在D内的上确界是否取到，即f（x，y）在D内是否存在最大值．[东南大学研]

证明：（1）固定，由可得，所以对固定的y，f（x，y）在（0，1）内的最大值为．易知在（0，＋∞）内单调递增，所以f（x，y）在D内有界，且上确界为．

（2）由前面的分析可知，f（x，y）在D内不能取到上确界．

4．设f（x，y，z）在附近二次可微，且，

证明：存在的邻域V，使得对任意的，在附近能求得f（x，y，z）关于x的一个极小值点．[大连理工大学2006研]

证明：根据Taylor展开时得

因为，所以，则存在的邻域V，对任意的，使得在附近有．

5．求函数下的最小值．[武汉大学研]

解：作拉格朗日函数

令，即

解得惟一驻点

将它们代入得

　  

因此f在下的最小值为

6．求曲面上距原点最近的点的坐标．[中山大学研]

解：此即求函数在条件的限制下取得极小值的点的坐标，作拉格朗日函数

解得　 

故曲面上距原点最近的点的坐标为（0，0，－1）．

7．设V是由椭球面的切平面和三个坐标平面所围成的区域的体积，求V的最小值．[中国科学院研]

解：过点（x，y，z）点的切平面方程为

即

此平面在坐标轴上截距分别是，切平面与坐标轴围成的四面体的体积为

因此求V的最小值，只须求函数在限制条件之下的最大值，由对称性，可设为此，作拉格朗日函数

解得　

故 

8．求曲线在点M（1，2，1）处的切线及法平面方程．[北京科技大学研]

所以曲线f（x）在点M（1，－2，1）处的切线方程为

法平面方程为

化简为x－z＝0．