第八节　十字交叉法★★★★★

我们常说的十字交叉法实际上是代替求和公式的一种简捷算法，它特别适合于两总量、两关系的混合物的计算，用来计算混合物中两种组成成分的比值，在浓度问题、利润问题等题型中应用广泛。原理如下:

同一物质的甲、乙两溶液的百分比浓度分别为a%、b%，且a%＞b%，现用这两种溶液配制百分比浓度为c%的溶液。问取这两种溶液的质量比应是多少?

解析:同一物质的溶液，配制前后溶质的质量相等，利用这一原理可列式求解;设甲、乙两溶液各取m1和 m2克，两溶液混合后的溶液质量是(m1+ m2)克，则有: a%×m1+ b%×m2= c%×(m1+ m2)，整理得=，即为所求。图示如下:

这种运算方法，叫十字交叉法。在运用十字交叉法进行计算时要注意:

(1)斜找差数，横看结果;

(2)由于计算时“%”可以抵消，列式子时可以直接忽略“%”;

(3)得出的比例关系，为基数的比例关系;

(4)个别试题需两次应用到十字交叉才能求解;

(5)除了浓度问题，类似的问题也可以用该方法。

【例1】有A、B、C三种盐水，按A与B数量之比为2∶1混合，得到浓度为13%的盐水;按A与B数量之比为1∶2混合，得到浓度为14%的盐水。如果A、B、C数量之比为1∶1∶3，混合成的盐水浓度为10. 2%。问盐水C的浓度是多少?(　)

A. 10%　　　　B. 9%　　　　C. 8%　　　　D. 7%

——2014年河南郑州第二批事业单位第55题

【解析】C。本题中多次出现浓度的相互混合，以及比值，是一道十分经典的十字交叉法浓度题。具体解题过程如下:设A、B的浓度分别为x%和y%，根据“按A与B数量之比为2∶1混合，得到浓度为13%的盐水”可得;根据“按A与B数量之比为1∶2混合，得到浓度为14%的盐水”可得，解得x = 12，y =15; A和B按照1∶1混合之后的浓度为13. 5%，设C的浓度为z%，则有:，解得z =8。因此，盐水C的浓度是8%。故选C。

【例2】某城市9月平均气温为28. 5度，如当月最热日和最冷日的平均气温相差不超过10度，则该月平均气温在30度及以上的日子最多有多少天?(　)

A. 27　　　　B. 26　　　　C. 25　　　　D. 24

——2011年国考第79题

【解析】C。要使该月平均气温在30度以上的日子尽量多，就要使该月平均气温在30度以下的气温尽量低;又因为当月最热日和最冷日的平均气温相差不超过10度，则可假设最高气温就是30度，其他的气温皆为20度，并设该月平均气温是30度的日子有x天，则该月平均气温是20度的日子有30－x天，则有:

得:，解得x =25. 5;因此，该月平均气温在30度及以上的日子最多有25天。故选C。

【例3】某单位共有A、B、C三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员的平均年龄为多少岁?(　)

A. 34　　　　B. 35　　　　C. 36　　　　D. 37

——2011年国考第77题

【解析】B。本题可以分解成两个十字交叉的模型，A和B两部门、B和C两部门，则有:

可设A、B、C三个部门人数分别为3x、4x和5x，则有:。故选B。

【例4】某商店花10000元进了一批商品，按期望获得相当于进价25%的利润来定价，结果只销售了商品总量的30%。为尽快完成资金周转，商店决定打折销售，这样卖完全部商品后，亏本1000元。问商店是按定价打几折销售的?(　)

A.四八折　　B.六折　　C.七五折　　D.九折

——2011年国考第72题

【解析】B。解法一:按25%的利润率可售(1+25%)×10000 =12500元，销售30%的货款为12500×30% =3750元;又因为整体亏了1000元，说明剩下的70%销售额为9000－3750 =5250元。由于剩下的70%原定价为12500－3750 =8750元，5250÷8750 =0. 6，即打了六折。故选B。

解法二:可以用十字交叉法求解。由题知，这批商品分两个部分出售，30%的部分按照25%的利润来定价，70%的部分打折后出售，最后总亏本1000元，即总利润率为－10%。设打折后出售的70%的商品的利润率为x%，则有:

得:，解得x =－25，则有:;因此，打了六折。故选B。