1.1 分数阶导数和积分

本节对本书中常用的几种分数阶微积分的定义、性质做简单介绍，详细介绍可参考文献[33，40，84]。

定义1.1.1 [40]Gamma函数Γ（z）定义为

定义1.1.2 [40]设f∈L1（a，b），f的q（q∈C，Re（q）＞0）阶左侧、右侧Riemann-Liouville分数阶积分分别定义为

定义1.1.3 [40]设f是定义在（a，b）上的函数，f的q阶左侧、右侧Riemann-Liouville分数阶导数分别定义为

其中，n=[q]+1，[q]表示q的整数部分。

定义1.1.4 [40]左侧、右侧Caputo分数阶导数和分别定义为

其中，n=[q]+1，[q]表示q的整数部分。

定义1.1.5 [33]q阶p型Hilfer分数阶导数定义为

其中，n-1＜q≤n，0≤p≤1。

注：1.1.1[33]（1）如果p=0，0＜q＜1，则Hilfer分数阶导数等价于Riemann-Liouville分数阶导数，即

（2）如果p=1，0＜q＜1，则Hilfer分数阶导数等价于Caputo分数阶导数，即

引理1.1.1 [84]Hilfer分数阶导数的Laplace变换为

其中，n-1＜q≤n，0≤p≤1。