第五节 案例学习

采样定理表明，如果信号x_a（t）是带限的，且采样频率f_s高于带宽或最高频率的两倍，则可以通过对x（n）的内插精确恢复重建x_a（t）。如果采样频率太低，则采样样本就不完备，这样的采样处理被称为混叠。解释混叠现象的一个简单方法是观察随时间变化M×N大小的视频图像I_a（t）。这里视频图像I_a（t）是由一幅幅随时间变化、具有M×N像素阵列的图像组成，其中M是像素阵列的行数，N是列数，它们的大小取决于所用的视频格式。如果以间隔T对视频信号I_a（t）采样，则所得到的MN维离散时间信号可以表示为

式中，，f_s是以每秒帧数为量纲的采样速率。

为了避免混叠现象，采样速率应足够高。

以一个简单的例子来说明混叠现象。假设图像是一个旋转的碟子，碟子上有一条表示方向的黑线，如图2-21所示。粗略一看，图2-21中的这些视频帧序列图像，你会说：这个碟子似乎在以每帧45°的速率逆时针旋转。实际上这并不是唯一的解释，例如，认为该碟子以每帧315°的旋转速率顺时针旋转，也是一种可能的合理解释。那么用快拍捕获的旋转运动到底是一个快速的顺时针旋转，还是一个慢速的逆时针旋转呢？如果该碟子实际上是以每秒F₀圈的速率顺时针旋转，而采样速率f_s≤2F₀，则混叠现象就会出现。而混叠现象的出现会导致碟子看起来似乎在慢慢地反向旋转。

图2-21 有向旋转碟子的顺序四幅视频帧序列图像

为了说明采样过程的混叠现象，假设圆盘以每秒F₀圈的速率顺时针旋转。如果圆盘上的标线起始于水平位置向右转，这对应于初始角度θ₀=0。对于顺时针旋转，t时刻的角度为

然后假设图像是以每秒f_s帧的速率采样。由观测者看到的第k帧图像的标线角度为

由于圆盘是以F₀（Hz）恒速率旋转，将半径为r的标线端点作为考察点，它可以被看作一个个二维信号，用直角坐标系可表示为

以下均假设信号x_a（t）是带限于F₀（Hz）的。由采样定理可知，如果f_s＞2F₀，则混叠不会发生。当f_s＞2F₀时，观看图像时会觉得圆盘在顺时针转动，这与事实相符。但是，当f_s＜2F₀时，混叠现象发生了。对于f_s=2F₀的临界情况，圆盘在每一幅图像中都刚好旋转了半圈，所以说不清楚圆盘的转向。而当f_s=F₀时，圆盘看上去根本没动。因此，为了避免混叠发生，采样频率必须满足f_s＞2F₀。为方便起见，可以将采样频率表示为

当a＞1，称为过采样，而a＜1表示欠采样。当a＞1时，圆盘看上去在顺时针旋转；当a=0.5时，圆盘似乎没有转动；当a接近0.5时，感觉其转动方向和转动速度均在变化。以下参考程序可供读者观察不同的采样频率下圆盘的转动现象。