![海洋大直径钢管桩工程](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/75/40937075/b_40937075.jpg)
3.3 一维波动方程的求解
3.3.1 行波理论
1.上行波与下行波
方程式(3.2.8)的通解形式如下:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_20.jpg?sign=1739521470-g4K48ypmabcwR9r0TYSzAFUltexz6vI0-0-c6ee702dda5b0647ea9e9471efe6cb97)
该通解由两个行波组成,其传播速度都为c,但传播方向相反。波沿特征线(x±ct)传播,而且f和g的值是常数,可由边界条件确定。
由以上通解可导出质点速度v和轴力F的方程:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_21.jpg?sign=1739521470-dklGfxLMXDJ1S8c7zm0r20BPVcYZUeKg-0-42563119549d853f69f5be1de1fe4354)
式中:vd和Fd为x-ct的函数;vu和Fu为x+ct的函数;vd、vu分别为下行波速度和上行波速度;Fd、Fu分别为下行力波和上行力波。
在一般情况下,桩身任意截面上的速度和轴力都是上行波和下行波叠加的结果。
从式(3.3.2)和式(3.3.3),可知
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_22.jpg?sign=1739521470-q9Aoe6ah6VdCJa6J4mJcgB4tWLWbW4fU-0-8c25571bd23f88776aaa28d1506d56a6)
式中:Z为杆件的阻抗,定义为杆件上任意点处的受力与该点的运动速度之比,
2.不同边界条件下的特解
在长为L的桩上作用一半弧形脉冲荷载(采用脉冲荷载是因为任意一时间荷载很容易用一系列脉冲来描述)。如前所述,一压缩波开始向下传播,注意此时仅有两特征线之间的桩段以速度v=F/Z运动,如图3.3.1(a)所示,而桩身其余部分没有运动。当经过t=L/c波前到达桩底,产生了反射波。反射波的类型取决于桩底的约束情况,自由或固定。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_25.jpg?sign=1739521470-eV2bsFq67BnyEzaaUVewE6JaAbjTY68A-0-512a106a1cd82b7ef4828450103ad7e7)
图3.3.1 桩底自由时桩自脉冲荷载响应原理示意
(a)速度时程曲线;(b)力时程曲线;(c)响应过程示意
当桩底约束为自由时,在任何时刻t,其边界条件是桩底力为零(在自由桩底,没有阻力),如图3.3.1(b)所示,即F(x=L,t)=0。因此
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_26.jpg?sign=1739521470-riLWGEcFnYImZmNtnNEUd9VCVBB4TT7F-0-04d542a33702e95390cd533740d3c6a3)
在t=L/c时,应力波到达自由端后,将产生一个符号相反,幅值相等的反射波,即反射拉力波。在深度与时间坐标的小三角区中,由于波的叠加,使得桩中力为零。上行波和下行波的速度分别为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_27.jpg?sign=1739521470-WHGh1GHZcsZd5uHNeKcY0p7KjyaGM86L-0-a78d2ec4c7b69c52a2738737a576be5d)
由上式可知,上行波和下行波的速度等值且同向。在重叠区域,使得质点运动速度增加一倍。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_28.jpg?sign=1739521470-HdukByIMcocxntpSvJUGSa3PeOU3Zs14-0-228aec1dece1e7ec703f03c904629d86)
再经过t=L/c,上行波到达桩顶,产生另一个反射波,该下行波为压缩波。平均速度为
当桩底约束为固定时(图3.3.2),在任意时刻t,其边界条件是桩底的位移和速度均为零,即v(x=L,t)=0。
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图3.3.2 桩底固定时桩身脉冲荷载响应原理示意
(a)速度时程曲线;(b)力时程曲线;(c)响应过程示意
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因此,当应力波到达固定端后,将产生一个与入射波相同的反射波(大小相等,方向相同)。即入射的压力波产生压力反射波,入射的拉力波产生拉力反射波。在波的叠加三角区域,速度为零,而轴力增加一倍。再经过t=L/c,上行波到达自由端桩顶,产生另一个反射波,该下行波为拉力波。由桩顶的位移和速度可以得到桩是以基频f和周期T在振动,即
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_31.jpg?sign=1739521470-9tKFzMyQqpkNG80X8T0mwaYCV9O6dlq0-0-32a270579b08501a2bc6206572ead2e2)
3.桩截面变化时的特解
桩的自由端和固定端是桩阻抗不连续的特殊情况。一般情况如图3.3.3所示。在变截面处两侧,轴力F和速度v分别相等。即
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_32.jpg?sign=1739521470-k3V28iikV70IwMRzZdAZ8Q6qBCnQ3U0j-0-f2bea4dcd4d4c4acdc8392cb0dbdba43)
由式(3.3.13)和式(3.3.14)可得
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_33.jpg?sign=1739521470-ZbfnYaEZa636916UskrHhwRaeVuN5TFC-0-7cbd74852c7437da342e3b7c096603d5)
图3.3.3 桩截面变化
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_34.jpg?sign=1739521470-H2B0MPYVOlKgnnD2fQ5JB8QhHDBhXHjk-0-30132e4244a9446e7a0921ee4d09820c)
如果知道某些特殊点任意时刻的值,即已知第1部分中下行波和第2部分中上行波,由式(3.3.13)和式(3.3.14)可以计算第2部分中下行波和第1部分中上行波:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_35.jpg?sign=1739521470-I9Po7w1kF9b3ewtpaS0q3FMDcTQhg7yz-0-be8b1aa2f4e3c821f4e57d533ab35e90)
例如,桩的横截面积减小一半(Z1=2Z2),则式(3.3.16)和式(3.3.17)可化为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_36.jpg?sign=1739521470-WFPBFifX4fpjBXPt7LGighM2L8WVLmZg-0-b984933307c6a9a3bfe1c3b151c376f5)
图3.3.4给出了桩变截面处应力波的入射、反射及透射情况。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_37.jpg?sign=1739521470-ze1o9Op1ihw9hWshP5SDW7rS6eeyb5NH-0-9c1ef162ce34c9cbde581357d10a12b6)
图3.3.4 桩截面变化情况
3.3.2 有限差分解
20世纪60年代初期,随着大型计算机的出现和发展,用数值方法求解波动方程已成为可能,Smith 提出了一个描述桩锤-桩-土系统的离散数学模型,借助电子计算机,用有限差分法求解得到了相应的解答,并给出了土和系统单元参数的建议值,创造性地用波动理论模拟打桩过程。
波动方程的有限差分解法是将整个打桩系统(桩锤、垫层、桩帽、桩及桩周土等)在空间上离散成为若干个由刚性质量块和无重量的弹簧组成的单元,如图3.3.5所示。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_38.jpg?sign=1739521470-8TVjxZUbh9JmisWR9IBAXAzttdD0z04p-0-15266b6b9e997528504b138d38499f8d)
图3.3.5 波动方程分析中的计算模型
(a)单元划分;(b)计算图式;(c)受力;(d)分离单元受力
Δl代表单元的长度,在计算过程中将一次锤击的历时分割成若干个间隔Δt的时间段,Δt的选取应相当短,使得弹性应力波在一个单元中的传播时间小于Δt。因而,单元的运动在Δt时间间隔内可以近似地看作等速运动。若以tcr为临界时间间隔,则
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_39.jpg?sign=1739521470-bmt6L7wEpLaH3OFIZxQpo2CgTUgPfVEo-0-b1291c38a1d7a6f8e2de56849564e43c)
应使Δt<tcr,一般取
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_40.jpg?sign=1739521470-Fwldqk3rqLuWjoSZZr6ctvPlA4zsJSFS-0-778a2d0618fdf3b44a1d0013485e9d6c)
因此,任一桩单元i[图3.3.5(d)]在时刻t时的平衡方程式为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_41.jpg?sign=1739521470-onhF7CSzEJ75qYlsDBunj1At6Sewsso6-0-58f402fec33d17d4e233b43ab70da263)
式中:EP(i)、EP(i-1)分别为桩单元i、单元i-1的弹簧常数;u(i,t-Δt)为t-Δt时刻单元i的位移;D(i,t-Δt)、D(i-1,t-Δt)分别为桩单元i和单元i-1在时刻t-Δt的弹簧压缩量;R(i,t)为桩单元i所受的土的总阻力,外露单元此项设为零;Wp(i)为桩单元i的重量。
采用向后差分可得
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_42.jpg?sign=1739521470-g2VGOAlYBzOY4RB3gn4Ayg8u5MIhh9NK-0-0c73c2e4e82e15ce8bddaadc1819b5e7)
则由式(3.3.22)和式(3.3.23)可得单元i的位移:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_43.jpg?sign=1739521470-kl46SNAhWgdFnwSH3HGqmrB8VIDmWOQw-0-f93475853d93a6a3b1224ccd2d53af6a)
因此,单元i在t时刻的变形为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_44.jpg?sign=1739521470-rmAfylhqaDUBjmZFDtiC25TeXN3XG0Xs-0-79a2b71630639acb52467b86844ef37b)
单元i在t时刻的受力为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_45.jpg?sign=1739521470-lXIRXwzNU0XaFN1UCAsTXxQD5BTTXkzn-0-72d3ad4da018d7adf8c6966a4d4cffaa)
单元i的在t时刻的速度为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_46.jpg?sign=1739521470-efrUYZsH4ZxYACO5FmebL4SqzfMdKq6T-0-2494cb0b8fa6c56684e0d420539374ad)
v(i,t)被用于计算下一个Δt的位移,即
![img](https://epubservercos.yuewen.com/3A2568/21277073708299106/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_47.jpg?sign=1739521470-NzEzQb4Yydf3IKIeFdlkVMWkV2DZM6fv-0-fd456b69fba9e90fde9f3a123e0c82f2)
令计算的初始时间为打桩锤锤心撞击垫层的接触瞬间,即t=0。由于在初始时刻之前,整个桩-土系统处于静止状态。故在t=0时,桩单元的弹簧力、土的总阻力,及其位移、速度和加速度均是零。仅以桩锤锤心的锤击初速度作为已知的边界条件,开始第一个时间间隔Δt 内应力波在桩锤-桩-土系统内传播的计算。桩锤锤心在时间Δt内产生的位移即为锤心弹簧的变形量,从而可以计算作用在下一个单元上的外力。该力使得锤心速度减小,同时锤心下面的单元产生加速度及获得新的速度。如此在每个Δt时间段内逐个单元地进行计算迭代,直到满足以下的两个条件时就可以结束运算:
(1)桩单元的位移不再增加。
(2)各单元的速度均已为零或者为负值。
有些情况是以迭代运算进行所预定的次数而自动停止,通过上述的运算即可以得到打桩过程中,桩在一次锤击中的性状。