§2.2　矩阵的运算

2.2.1　矩阵的加法与减法

定义4　设有两个m×n矩阵A=（aij），B=（bij），那么矩阵A与B的和记为A+B，并规定

应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算.

由定义，不难证明矩阵加法满足下列运算规律（设A，B，C，O都是m×n矩阵）：

（1）交换律：A+B=B+A；

（2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C）；

（3）A+O=A；

（4）A+（-A）=O.

设矩阵A=（aij）m×n，记-A=（-aij）m×n，-A称为矩阵A的负矩阵，显然有

A+（-A）=O.

由此规定矩阵的减法为A-B=A+（-B）.

注意：　只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加（减）法运算，且同型矩阵之和（差）与原来两个矩阵仍为同型矩阵.

2.2.2　数与矩阵相乘

定义5　设矩阵A=（aij）m×n，λ为任意实数，则数λ与矩阵A的乘积（λaij）记为λA或Aλ，并规定

数乘矩阵满足下列运算规律（设A，B为m×n矩阵；k，λ为常数）：

（1）1A=A；

（2）（kλ）A=k（λA）；

（3）（k+λ）A=kA+λA；

（4）λ（A+B）=λA+λB.

矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.

2.2.3　矩阵的乘法

设有两个线性运算，即由变量x1，x2，x3到变量y1，y2的一个线性运算，以及由变量t1，t2到变量x1，x2，x3的一个线性运算，分别为

若想求出从t1，t2到y1，y2的线性变换，可将式（2-6）代入式（2-5），便得

把线性变换（2-7）称为线性运算式（2-5）与式（2-6）的乘积，相应地，把式（2-7）所对应的矩阵定义为式（2-5）与式（2-6）所对应的矩阵的乘积，即

定义6　设有矩阵A=（aij）m×l，B=（bij）l×n，则矩阵C称为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB，其中C=（aij）m×n满足

（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）.　　（2-8）

由定义6不难发现：

（1）只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数和第二个矩阵（右矩阵）的行数相等时，两矩阵才能相乘；

（2）C中第i行第j列的元素cij等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素乘积的和；

（3）一个行矩阵与一个列矩阵的乘积为一个数，例如

（4）EmAm×n=Am×nEn=Am×n，其中，E为单位矩阵，这说明单位矩阵和矩阵的乘法运算中的作用与数1在数的乘法中的作用类似.

注意：

（1）矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情形下，AB≠BA；

（2）由AB=O，不能得出A=O或B=O的结论；

（3）由AB=AC，且A≠O，不能推出B=C.

由定义6可以证明，矩阵的乘法和数乘满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：

（1）结合律（AB）C=A（BC）；

（2）数乘结合律k（AB）=（kA）B=A（kB）（其中k为常数）；

（3）左分配律A（B+C）=AB+AC；

（4）右分配律（B+C）A=BA+CA.

由于矩阵的乘法满足结合律，所以n个方阵A相乘有意义，因此可以定义方阵A的幂.

定义7　设A是n阶方阵，k为正整数，则称

Ak=A·A·…·A

为A的k次幂.

规定A0=E，由于矩阵乘法适合结合律，但不满足交换律，因此有

（1）AkAl=Ak+l；

（2）（Ak）l=Akl；

（3）通常情况下，（AB）k≠AkBk.

注意：　由Ak=O（k>1），推不出A=O.例如， ，A2=O，但A≠O.

2.2.4　矩阵的转置

定义8　已知m×n矩阵A=（aij）m×n，将A的行列依次互换，得到一个n×m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A′.即

例如，，则.

矩阵转置具有下述运算规律（假设运算都是可行的），即法则：

（1）（AT）T=A；

（2）（A+B）T=AT+BT；

（3）（λA）T=λAT；

（4）（AB）T=BTAT.

由定义知，法则（1）、（2）、（3）易证，此处仅证明法则（4）.

设A=（aij）m×s，B=（bij）s×m，记AB=C=（cij）m×n，BTAT=D=（dij）n×m，于是按（2-4）式，有

而BT的第i行为（b1i，…，bsi），AT的第j列为（aj1，…，ajs），因此

所以dij=cji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m），即D=CT，亦即

BTAT=（AB）T.

注意：　法则（2）和法则（4）可以推广到有限个矩阵的情况，即

2.2.5　方阵的行列式

定义9　由n阶方阵A的元素所构成的n阶行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记做|A|或detA，即

注意：　方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数（也就是数表A）按一定的运算法则所确定的一个数.

由A确定|A|的这个运算满足下述运算规律（设A，B为n阶方阵，k为常数）：

（1）|AT|=|A|（行列式行列互换，行列式值不变）；

（2）|kA|=kn|A|（n为矩阵的阶数）；

（3）|AB|=|A||B|.

注意：　对于n阶方阵A，B，一般来说AB≠BA，但由（3）可知|AB|=|BA|.另外，（3）还可以推广到有限个方阵的乘积的行列式，即|A1A2…As|= |A1||A2|…|As|.

在此仅证明（3）.设A=（aij），B=（bij）.记2n阶行列式

由前面的所学内容可知D=|A||B|，而在D中以b1j乘第1列，b2j乘第2列，…，bnj乘第n列，都加到第n+j列上（j=1，2，…，n），有

其中，C=（cij），cij=b1jai1+b2jai2+…+bnjain，故C=AB.

再对D的行做rj↔rj+n（j=1，2，…，n），有

则有

D=（-1）n|-E||C|=（-1）n（-1）n|C|=|C|=|AB|，

于是|AB|=|BA|.

例1　设，求A+B.

解

例2　

例3　

解

注意：　这里BA没有意义（请读者思考）.

例4　求矩阵的乘积AB与BA.

解　由定义，可得

例5　

证　用数学归纳法.当n=1时，等式显然成立.设n=k时成立，即设

要证n=k+1时成立.此时有

于是等式得证.

例6　设f（x）=3x2-4x+1，矩阵，求矩阵多项式f（A）.

解　因为

所以

例7　已知，求（AB）T.

解一　因为

所以

解二

例8　设A与B是两个n阶反对称矩阵，证明：当且仅当AB=-BA时，AB是反对称矩阵.

证　因为A与B是反对称矩阵，所以

A=-AT，B=-BT.

若AB=-BA，则

（AB）T=BTAT=BA=-AB，

所以AB是反对称矩阵.

反之，若AB反对称，即

（AB）T=-AB，

则

AB=-（AB）T=-BTAT=（-B）（-A）=-BA.

例9　设列矩阵X=（x1，x2，…，xn）T满足XTX=1，E为n阶单位矩阵，H=E-2XXT，证明H是对称矩阵，且HHT=E.

证明前请注意：是一阶方阵，也就是一个数，而XXT是n阶方阵.

证　HT=（E-2XXT）T=ET-2（XXT）TE-2XXT=H，所以H是对称矩阵.

HHT=H2=（E-2XXT）2

=E-4XXT+4（XXT）（XXT）

=E-4XXT+4X（XTX）XT=E-4XXT+4XXT=E.

例10　设A为三阶矩阵，|A|=-2，求|2A|.

解　由于A为三阶矩阵，则|2A|=23|A|=8×（-2）=-16.

例11　设n阶方阵A=（aij）m×n，行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵

称为矩阵A的伴随矩阵，试证AA*=A*A=|A|E.

证　设A=（aij），记AA*=（bij），则

bij=ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=|A|δij，

故　　AA*=（|A|δij）=|A|（δij）=|A|E.

类似有

注意：　此题的结论AA*=A*A=|A|E经常要用到.