§1.4　行列式展开定理

通过本节的学习，学生应会求余子式和代数余子式，应用行列式的性质计算行列式的值；记住行列式展开定理及其推论，掌握应用行列式按行（列）展开及范德蒙德行列式计算行列式.

低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便，那么高阶行列式能否利用低阶行列式来表达并计算呢？在这节我们将探讨这个问题.为此，先引进余子式和代数余子式的概念.

1.4.1　余子式与代数余子式

定义　在n阶行列式中，将元素aij所在的行与列上的元素划去，其余元素按照原来的相应位置构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij.

令Aij=（-1）i+jMij，称Aij是aij的代数余子式.

例1　求行列式中的元素a12，a34，a44的余子式和代数余子式.

解　

引理　在n阶行列式D中，如果第i行的元素仅aij≠0，其余元素均为零，则D=aijAij.

1.4.2　行列式展开定理

定理　n阶行列式等于它的任意一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

或

证明　

类似地，可证明.

该定理称为行列式按行（列）展开定理，也称行列式的降阶展开式.

推论　n阶行列式D的任意一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0.

例2　已知，求A11+A21+A31+A41.

解法1　因为，

D1与D的第1列元素的代数余子式相同，所以将D1按第1列展开可得A11+A21+A31+A41=0.

解法2　因为D的第3列元素与D的第1列元素的代数余子式乘积之和为0，

3A11+3A21+3A31+3A41=0，

所以　　　　　A11+A21+A31+A41=0.

注意　在计算行列式时往往不急于展开计算，通常总是根据行列式的性质尽量把它的其中一行（列）中的更多元素变成零，然后对这一行（列）展开再加以计算.

例3　计算.

解　

例4　计算行列式.

解　

例5　计算行列式.

解　

例6　设，

，试证：D=D1D2.

证明　对D1作运算ri+krj可把D1化为下三角形行列式，即设amm≠0，作运算，将D中第m列前m-1个元素全化为零，如此继续下去就可以将其化为下三角形行列式

对D2作运算cj+kci可把D2化为下三角形行列式，设为

于是，对D的前m行作运算ri+krj，对D的前n行作运算cj+kci，把D化成下三角形行列式

故　　　　　D=p11p22…pnn=D1D2.

若例6写成，同样

其中A是m2个元素aij排成m行m列的矩阵，|A|=D1；B是n2个元素bij排成n行n列的矩阵|B|=D2.此结论可以作为公式用.

*例7　证明范德蒙德（Vandermonde）行列式

其中 表示所有因子（xi-xj）（j<i）的连乘积，详见§1.1.

证明　用数学归纳法.

当n=2时，有

即当n=2时结论成立.

假设对于n-1阶范德蒙德行列式成立，即

要证对n阶范德蒙德行列式，结论也成立.为此，设法把Dn降阶；从第n行开始，后行减去前行的x1倍，有

（上式是（n-1）阶范德蒙德行列式）

计算n阶行列式，有时要用到数学归纳法，归纳法的主要步骤是不能省略的

例8　计算行列式

解　将该行列式转置，则该行列式为0阶范德蒙德行列式.

习题1.4　

1.设行列式，求含有元素2的代数余子式及其和.

2.设行列式，求第四行各元素余子式之和.

3.已知，试求：

（1）A12-A22+A32-A42；　　（2）A42+A43+A44.

4.用行列式展开定理计算下列行列式：

（1）　　　（2）

（3）；　　（4）

5.证明下列等式：

6.计算下列行列式：

（1）；　　（2）；

（3）　　　（4）；

（5）（6）.

7.求下列方程的根：