2.3　单自由度系统的自由振动

2.3.1　无阻尼的单自由系统

现以图2.19所示弹簧—质量系统为力学模型来研究单自由度系统的自由振动。

令x为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，建立图2.19（a）中所示的坐标轴，当系统受到初始扰动时，由牛顿第二定律得

式中λs为弹簧在质量块的重力作用下的静变形，由于平衡时有

mg=kλs　　（2.4）

于是由式（2.3）得到弹簧—质量系统的固有振动或自由振动微分方程

引进符号

式（2.5）改写为

该方程为一常系数线性齐次二阶常微分方程。其通解可写为

x=Asinωt+Bcosωt

式中A、B是积分常数，可由初始条件决定。设振动的初始条件为

于是方程解为

因两个同频率的简谐振动合成后仍然是一个简谐振动，故式（2.8）亦可用下式表达：

x=Asin（ωt+φ）　　（2.9）

式中

式（2.8）或式（2.9）称为系统对于初始条件x0与 的响应。式（2.9）说明，在线性恢复力作用下系统的运动是简谐运动。A是偏离平衡位置的最大位移，称为振幅，φ称为初相位。

简谐振动的圆频率为ω，由式（2.6），有

固有频率为f，且

周期为T，且

所以频率和周期仅决定于系统本身的性质，即质量m和弹簧刚度k，与初始条件无关。

【例2.14】　一台电动机重47kg，转速为1430r/min，固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图2.20（a）所示。每根槽钢长1.2m，重6.52kg，EI=162.8×106N·cm2。试求此系统的固有频率。

【解】　将上述系统简化为一个弹簧—质量系统，如图2.20（b）所示。槽钢质量与电动机质量相比不可忽略，由例2.8知可将槽钢质量的加在电动机质量上一起作为一个质量块进行分析计算。

质量块的质量为

根据简支梁挠度公式，在梁跨中点有集中力P作用时的挠度为，于是简支梁中点的刚度为　　　

两根槽钢的总刚度为

系统的固有圆频率为

固有频率为

【例2.15】　一钢结构的单层厂房可简化成如图2.21（a）所示的单层框架。设楼板的质量为m=2500kg，两侧墙壁的总质量为2700kg，且在高度上均匀分布。每侧墙的折算截面惯性矩I=3500cm4，钢的弹性模量E=2.06×107N/cm2。求楼板横向振动的固有圆频率。

【解】　据题意，楼板的横向振动可用图2.21（b）所示的弹簧—质量系统等效，弹簧刚度为

框架的固有圆频率为

2.3.2　有阻尼的单自由度系统

各种机械系统中都存在着一定的阻尼。阻尼有各种来源，如两物体相对移动时的干摩擦阻尼；有润滑剂的两个物体表面之间的摩擦力；物体在液体中运动的流体阻尼；结构材料本身的内摩擦引起的材料阻尼等。各种阻尼的机理比较复杂，有的还未搞清楚；有的虽然可用数学模型来表示，但要列出振动方程式来解题却很困难。因此阻尼问题始终是振动分析中的一个难题。由于黏性阻尼与速度成正比，故又称线性阻尼，表示为

式中c为比例常数，称为黏性阻尼系数，单位为N·s/m。黏性阻尼在分析振动问题时使求解大为简化，也能阐明阻尼对系统响应的影响，因此着重分析有这类阻尼的振动。

图2.22所示为单自由度系统有黏性阻尼力的力学模型及其受力图，其运动微分方程为

设方程的解为x=est，代入式（2.16）得

（s2+2ζωs+ω2）est=0

要使所有时间内上式都能满足，则

s2+2ζωs+ω2=0

这是微分方程的特征方程，其解为

式中ζ为无量纲的量，称相对阻尼系数。

于是方程（2.16）的通解为

x=C1es1t+C2es2t

式中C1、C2由运动的初始条件确定。

对于ζ>1，ζ=1，ζ<1这三种不同情况，式（2.18）所表示的运动性质各不相同。下面分别进行讨论。

1.ζ>1，大阻尼情况

当ζ>1时，特征方程的根s1与s2均为负实数。式（2.18）表明，x将随时间按指数规律减小，并趋于平衡位置。

2.ζ=1，临界阻尼情况

当ζ=1时，特征方程有重根s1=s2=-ω，故方程的通解为

x=（C+Dt）e-ωt　　（2.19）

在以上两种条件下，系统受到初始扰动离开平衡位置后，将逐渐回到平衡位置，运动已无振动的性质，只有当为负且绝对值足够大时，物体才能通过平衡位置一次，随即回到平衡位置。在这两种情况下，对不同的初始条件，其运动曲线如图2.23所示。

3.ζ<1，小阻尼情况

ζ<1时，特征方程的根s1、s2为共扼复数

应用欧拉公式

得方程（2.16）的解为

x=e-ζωt（Ccosω't+Dsinω't）　　（2.21）

式中 ，C、D由运动的初始条件确定。设t=0时，x=x0， ，则

经过三角函数变换可得

x=Ae-ζωtsin（ω't+φ）　　（2.23）

式中　　 　　（2.24）

其运动曲线如图2.24所示。由于系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线±Ae-ζωt之内，随时间不断衰减的衰减振动。

系统的衰减振动虽不是周期性运动，但式（2.23）中的因子sin（ω't+φ）仍表明物体周期地通过平衡位置O向两侧偏离，因此，习惯上将

分别称为衰减振动的圆频率和周期。将上式与无阻尼情况相比，阻尼对自由振动的影响有两个方面，一方面是阻尼使系统振动频率ω'降低，周期T1略有加长。ζ值越小，影响越小。例如，当ζ=0.2时， ， ；当ζ=0.05时， 。可见在ζ≪1时，阻尼对频率和周期的影响很小，因此常常不计阻尼的影响，直接引用ω与T的值。

另一方面，式（2.23）中的因子Ae-ζωt说明衰减振动的振幅按指数规律缩减。当sin（ω't+φ）=1时，运动曲线与包络线Ae-ζωt相切；当sin（ω't+φ）=-1时，运动曲线与-Ae-ζωt相切；在切点处的x值Ae-ζωt称为衰减振动的振幅。设在第i个振幅处t=ti，振幅Ai=Ae-ζωti，第i+1个振幅，则任意两个相邻振幅之比都等于

式中η称为减幅系数或减缩率。上式说明衰减振动的振幅以公比η按几何级数递减。阻尼越大，振幅衰减也愈快。当ζ=0.05时，η=1.37， ，即振动一周后振幅减少27％，经过10个周期，振幅将减为初始振幅的4.3％，这说明振动将很快停息，可见阻尼对振幅的影响是显著的。

为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅δ来代替减幅系数η。

当ζ≪1时，δ≈2πζ，ζ=0.05时，δ=0.314。因为任意两个相邻的振幅之比是一个常数，即

因此对数减幅也可表达为

利用上式可以计算使振幅衰减到一定程度所需要的时间，称为衰减时间

综合以上三种情况可见，系统运动是否具有往复性的临界条件是ζ=1。根据式（2.15），ζ=1时的黏性阻尼系数

称为临介阻尼系数。而

称为阻尼比。

从以上讨论可见，系统振动的性质取决于相对阻尼系数ζ的值。为了给出一个综合直观的描述，将特征方程的两个解（2.17）再次写出

显然，s1和s2的性质取决于ζ的值，这种相依性可在s平面上，即图2.25所示的复平面上表示出来。图中以ζ为参变量，实轴表示ζ值，以图的形式把根的轨迹表示成参数ζ的函数。当ζ=0时，s1，2=±iω，是两个虚根，即虚轴上截距为±ω的两个点对称，对应于上节所讨论的无阻尼自由振动。当0<ζ<1时，s1、s2是一对共轭复数根，位于以ω为半径的圆上。与实轴对称的两个点，对应于弱阻尼状态下的衰减振动。当ζ趋于1时，s1和s2都趋近于实轴上一ω点，对应于临界阻尼状态。当ζ>1时，s1和s2是两个实数根，对应于强阻尼状态，随ζ的增大，s1与s2沿实轴反向移动。ζ→∞时，s1→0，s2→-∞。

【例2.16】　图2.26为弹簧—质量阻尼系统，设质量块m=10kg，弹簧静伸长λs=1cm。系统在衰减过程中，经过20个周期，振幅由0.64cm减为0.16cm，求阻尼系数c。

【解】　由式（2.31）得

由于振动衰减得很慢，ζ值一定很小，所以

ln4≈40πζ